Animasi Double Pendulum dengan Metode Runge Kutta (Matlab R2016a)

gambar 1. Double pendulum

   Dalam pembuatan animasi kali ini menggunakan simulasi numerik dalam perhitungan matematisnya. metode simulasi numerik yang saya gunakan yaitu metode runge kutta. Berikut adalah penurunan rumus dari double pendulum pada gambar 1. Untuk pendulum pertama, q1 sudut antara pendulum 1 dengan garis vertical, m1 menunjukkan massa dari pendulum 1 dan L1 adalah panjang dari pendulum 1. Untuk pendulum kedua, q2 sudut antara pendulum 2 dengan garis vertikal, m2 menunjukkan massa dari pendulum 2 dan L2 menunjukkan panjang dari pendulum 2.

Dengan nilai,

Dari penurunan rumus didapatkan persamaan sebagai berikut, 

Dengan pemisalan,

Didapatkan persamaan

Dan dari kedua persamaan ini dilakukan eliminasi didapatkan persamaan ,

Untuk persamaan U dan fungsi yang digunakan pada metode rungee kutta adalah sebagai berikut,

Dan dari persamaan tersebut dilakukan pendekatan secara numerik dengan metode runge kutta, dan berikut hasil animasi yang saya buat.

Gambar 2. Animasi pendulum dengan Matlab R2016a

Fungsi Rata-Rata, Standar Deviasi, dan Ralat pada Software Matlab R2013a

            Dalam suatu eksperimen, pasti akan dilakukan perhitungan ralat dari data yang didapat, ini bertujuan untuk mengetahui tingkat akurasi dan presisi dari data tersebut. Dalam perhitungan ralat dapat menggunakan software matlab dengan memasukkan fungsi-fungsi dan algoritma tretentu yang dapat menghitung nilai dari ralat mutlak, ralat nisbi dan keseksamaan.

Untuk memudahkan, dalam pembuatan fungsi ralat ini akan dibagi 3 bagian, yaitu fungsi rata-rata, fungsi standart_deviasi dan fungsi ralat.

a.       Fungsi Rata-Rata

Rumus matematis untuk menghitung rata-rata adalah sebagai berikut.

Berikut adalah fungsi yang digunakan untuk menghitung rata-rata suatu data.

function rata=rata2(x) % fungsi rata2

x1=0; % merupakan nilai awal dari x1

n = length(x); %untuk menghitung banyaknya data dan nomor data keberapa

for ii=1:n % sebagai fungsi perulangan

    x1=x1+x(ii); % algoritma untuk penjumlahan (fungsi sigma)

end

rata=x1/n; % menghitung nilai rata2

Gambar 1 Fungsi rata-rata pada software matlab R2013a

b.      Fungsi Standart deviasi

Rumus matematis untuk menghitung Standart deviasi adalah sebagai berikut.

Pada fungsi standart deviasi ini digunakan rumus rata-rata, karena sebelumnya sudah dibuat fungsi rata-rata, maka pada fungsi standart deviasi ini kita tinggal memanggil/memasukkan fungsi rata-rata sebelumnya dengan cara menulis nama function dari fungsi tersebut (Gambar 2 line 3).

Berikut fungsi standart deviasi yang akan digunakan.

function sd=standart_deviasi(x); %sebagai fungsi

n = length(x); %untuk menghitung banyaknya data dan nomor data keberapa

rata=rata2(x); %memanggil fungsi 'rata' yang dibuat sebelumnya

s=0; %untuk nilai awal dari s

for ii=1:n % sebagai fungsi perulangan dari 1 sampai n

    s=s+(x(ii)-rata)^2; % rumus algoritma standart deviasi

end

standart_deviasi=sqrt(s/(n-1)); % rumus algoritma standart deviasi

sd = std(x);

% mencari standart deviasi dengan fungsi yang disediakan matlab

Gambar 2 Fungsi Standart Deviasi pada software matlab R2013a

c.       Fungsi Ralat

Rumus matematis untuk menghitung nilai ralat adalah sebagai berikut.

Pada fungsi Ralat ini digunakan rumus rata-rata dan standart deviasi, karena sebelumnya sudah dibuat fungsi rata-rata, maka pada fungsi ralat ini kita tinggal memanggil/memasukkan fungsi rata-rata dan standart deviasi seprti sebelumnya (gambar 3, line 3 dan line 4).

Berikut fungsi ralat yang akan digunakan

function Ralat_Mutlak = Ralat (x); % sebagai fungsi ralat

n = length(x); %untuk menghitung banyaknya data dan nomor data keberapa

rata=rata2(x); % memanggil fungsi rata2

sd=standart_deviasi(x); % memanggil fungsi standart deviasi

RalatMutlak = sd/(sqrt(n)) % algoritma utk menghitung nilai ralat mutlak

RalatNisbi = RalatMutlak/rata*100 % utk meghitung nilai ralat nisbi

Keseksamaan = 100-RalatNisbi % utk menghitung nilai dari keseksamaan

end

Gambar 3 Fungsi Ralat pada software matlab R2013a

d.      Uji Coba Dengan Data Sebenarnya

Untuk menjalankan fungsi diatas, digunakan data praktikum fisdas 1 momen inersia (M9),  berikut hasil data dan perhitungan secara manual.

Tabel 1. Data praktikum fisdas 1 tentang momen inersia (M9)

           

Berikut perhitungan dengan menggunakan software matlab dengan fungsi yang sudah dibuat sebelumnya.

Gambar 4 Hasil command windows dari fungsi ralat

   Gambar 4 menunjukkan nilai dari perhitungan dengan software matlab. Dari perhitungan tersebut menghasilkan nilai dari ralat mutlak sebesar 0.0299, Ralat Nisbi sebesar 3.5937% dan nilai keseksamaan sebesar 96.4063%. Nilai ini sama persis dengan nilai hasil perhitungan manual, hanya berbeda dalam penyederhanaan angka dibelakang koma.